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我们还可以换一种方法想想:如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的“，而轮胎面不是。
0世纪0年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（hihad）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。但是失之桑榆、收之东隅，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，这些特例被称为怀特海流形。
0年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（r&big）、哈肯（hak）、莫伊泽（is）和帕帕奇拉克普罗斯（aa-kyriakuls）均在其中。
帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（aa）。在194八年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（dhs）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（jhilr）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/>每一个拓扑学家的天敌/>直到帕帕奇拉克普罗斯/>居然证明得毫不费力。”
然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。
这个猜想深深的困扰着当时所有人数学家，许多人因此而日夜操劳爆肝，但人们仿佛永远都只差那么一点，后世是在00年由俄国数学家格里戈里·佩雷尔曼证明。阿福想提前公布这个答案了，因为这是一个有着近百年的世纪难题，一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。。
于是阿福开始了闭关模式，每天除了吃饭上厕所稍微睡一会儿外，其余时间都在写论文，这篇论文分为三篇，共三百多页，阿福引用了大量前人的成就，然后引申出几何化猜想，并证明了这个猜想，这使得庞加莱猜想得到完整的证明。直到六月中旬，阿福终于放下自己手中的笔，休息了一天后，拿着论文去找张主任。
张主任看到手中的论文一脸的蒙，我只是让你写篇论文，结果你也写了这么厚一堆？搞什么？细看了几页后，张主任将信将疑的问：“真的证出来了？”
